Question

【題目】如圖，在多面體中，平面⊥平面，，，DE AC，AD=BD=1.

(Ⅰ)求AB的長；

(Ⅱ)已知，求點E到平面BCD的距離的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性質可得平面，平面，可得，再證明平面，于是得，由勾股定理可得結果；(Ⅱ)過作直線，以點為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示. 記，求出平面的一個法向量，利用點到平面的距離，結合，可得點到平面的距離的最大值.

詳解：(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交線為AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.

又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，從而DE⊥BD.

注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.

而AD=BD=1，∴.

(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中點為O，∴DO⊥AB.

又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.

過O作直線OY∥AC，以點O為坐標原點，直線OB，OY，OD分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

記，則，，

，，，.

令平面BCD的一個法向量為.

由得.令，得.

又∵，∴點E到平面BCD的距離.

∵，∴當時，取得最大值，.