Question

【題目】已知函數對任意實數，恒有，且當，，又.

（1）判斷的奇偶性；

（2）求在區間上的最大值；

（3）是否存在實數，使得不等式對一切都成立？若存在求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函數；（2）6；（3）存在，

【解析】

（1）先求得，然后求得，由此判斷出為奇函數.

（2）判斷出的單調性，由此求得在區間上的最大值.

（3）根據的單調性和奇偶性化簡不等式，根據一元二次不等式恒成立的條件列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）依題意，函數對任意實數，恒有.

令，得，解得.

令，得，即，故函數為奇函數.

（2）任取，即，即，所以在上遞減.所以在區間上的最大值為.

（3）由（1）（2）知是在上遞減的奇函數，故由得，即，即，對對一切都成立，所以，即，解得.