Question

【題目】已知

（1）求曲線在點出的切線方程；

（2）設函數，若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）求出,由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2），等價于，，，利用導數研究函數的單調性，可得要滿足對恒成立，只需，從而可得結果.

詳解：（1）由題知：,則，

∴曲線在點處切線的斜率為

所以，切線方程為，即.

(2)由題知：，即，

令，則，

令解得，

∴在單增；單減，

又∵有唯一零點

所以，可作出函數的示意圖，

要滿足對恒成立，只需解得.即實數的取值范圍是

法二：令，則，

令，則 ， 令，則，

∴在單增，單減；，故對恒成立.

∴在單減，

又∵對恒成立，令得

∴，無論在有無零點，

∴在上的最小值只可能為或，

要恒成立，

∴且，

∴.即實數的取值范圍是