Question

【題目】綜合題。
（1）設不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集為N， ，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．
（2）已知命題：“x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為x∈N是x∈M的必要條件，所以MN，

當a=1時，解集N為空集、不滿足題意；

當a＞1時，a＞2﹣a，此時集合N={x|2﹣a＜x＜a}，

則 ，

所以

（2）解：由題意得，方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，

∴m的取值集合就是函數y=x2﹣x=（x﹣ ）2﹣ 在（﹣1，1）上的值域，值域為[﹣ ，2），

∴實數m的取值范圍[﹣ ，2）

【解析】（1）∈N是x∈M的必要條件，所以MN，當a=1時，解集N為空集，不滿足，當a＞1時，求得解集，列不等式組即可求得a的取值范圍；（2）方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，m的取值集合就是函數y=x2﹣x=（x﹣ ）2﹣ 在（﹣1，1）上的值域，根據二次函數性質，即可求得實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．