Question

【題目】已知函數 .

(1)當時,求函數的極小值；

(2)若函數在有個零點,求實數的取值范圍；

(3)在(2)的條件下,若函數在的三個零點分別為,求證: .

Answer 1

【答案】（1）當時,函數有極小值.（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）求出導函數，由確定增區間，由確定減區間，從而可得極小值；

（2）首先的零點即是的零點，由二次函數的性質可得結論；

（3）由（1）知，求得導函數，確定出的單調性與極值點，再由有三個零點，得出的范圍，同時由零點存在定理得三個零點各自的范圍，從而得證．

詳解： (1)當 時，，，

則,解得,,解得或,

函數在區間內單調遞增,在區間和內單調遞減,

當時,函數有極小值.

(2)設

函數在上有個零點等價于函數在上有

個零點且，要使函數在上有個零點,則

，解得，

即實數的取值范圍是.

(3)由(Ⅱ)得, ， .

，

則，解得,解得或，

，，

則，解得，解得或.

函數在區間內單調遞增,在區間和內單調遞減.

若函數在上的三個零點分別為,不妨設

則，即，解得.

又當時, ；

當時， ；當時, ；

當時, ，

由函數零點存在性定理可得，

.