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【題目】已知.

（1）當時，若函數在處的切線與函數相切，求實數的值；

（2）當時，記.證明：當時，存在，使得.

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問將代入解析式，之后對函數求導，從而可以求得，結合，利用點斜式寫出切線的方程，之后再結合直線與拋物線相切的有關特征求得參數b的值；第二問結合題中的條件，轉化函數解析式，利用導數研究函數的性質，向最值靠攏即可證得結果.

詳解：（Ⅰ）解：當時，，

，故切線方程為．

設切線與相切的切點為，

故滿足方程組

解得，故．

（Ⅱ）證明：，

令，則

在上單調遞增，在上單調遞減.

即恒成立，

或，

在上單調遞減，在上單調遞增，

．

只需證時，即可，

令

則，恒成立，

在上單調遞減.

，

在上單調遞增，上單調遞減，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某顏料公司生產A，B兩種產品，其中生產每噸A產品，需要甲染料1噸，乙染料4噸，丙染料2噸，生產每噸B產品，需要甲染料1噸，乙染料0噸，丙染料5噸，且該公司一天之內甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸，160噸和200噸，如果A產品的利潤為300元/噸，B產品的利潤為200元/噸，設公司計劃一天內安排生產A產品x噸，B產品y噸.

（I）用x，y列出滿足條件的數學關系式，并在下面的坐標系中畫出相應的平面區域；

（II）該公司每天需生產A，B產品各多少噸可獲得最大利潤，最大利潤是多少?

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）記，是的導函數，如果是函數的兩個零點，且滿足，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某幾何體的三視圖如圖2所示（小正方形的邊長為），則該幾何體的外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在三棱柱中，側面是邊長為2的菱形，，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若底面是以為直角頂點的直角三角形，且，求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，則三個命題中正確命題的個數為（ ）個.

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若某校研究性學習小組共6人，計劃同時參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個展廳，6人各自隨機地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結束后集合返回，設事件A為：在參觀的第一小時時間內，甲，乙，丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第二個小時時間內，該小組在甲展廳人數恰好為2人，則（ ）．

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中，，平面平面

（I）求證：；

（II）若M為中點，求證：平面；

（III）在線段BC上（含端點）是否存在點P，使直線DP與平面所成的角為？若存在，求得值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，不等式有且只有兩個整數解，求的取值范圍.

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