Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，離心率為，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若為軸上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于兩點．

（�。┣�的面積最小值；

（ⅱ）證明：三點共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（�。�2；

（ⅱ）證明過程見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據離心率可以得到等式，由的面積為，又得到一個等式，結合，可以求出的值，這樣就求出橢圓方程；

（Ⅱ）（�。┰O出兩點坐標，根據，可以得到兩點坐標之間的關系，求出的面積的表達式，利用基本不等式求出的面積最小值；

（ⅱ）直線的方程與橢圓方程聯立，求出點坐標，同理求出的坐標，求出直線的斜率，根據兩點坐標之間的關系，可以證明出直線的斜率相等，又過同一點，這樣就可以證明三點共線．

（Ⅰ）由題意可知：，離心率為 ，

因為的面積為，所以而，

所以，因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）設，

,所以.

（�。┰O的面積為，，

，當且僅當時，取等號，所以的面積最小值為2；

（ⅱ）,直線的方程為：與橢圓的方程聯立得

，

設所以有，，

設,同理求出，所以，

，所以，直線過同一點，斜率相等，所以三點共線．