Question

【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，，分別交曲線于點，和，.設線段，的中點分別為，，求證：直線恒過一個定點；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由題意可知：動點到定點的距離等于到定直線的距離，由此利用拋物線的定義能求出點的軌跡的方程．

（2）設 兩點坐標分別為 ，則點的坐標為．由題意可設直線的方程為，，由，得．由此利用根的判別式、韋達定理、直線的斜率、直線方程，結合已知條件能證明直線恒過定點．

（3）求出，利用基本不等式能求出三角形面積的最小值．

解：(1)由題意可知：動點到定點的距離等于到定直線的距離.根據拋物線的定義可知，點的軌跡是拋物線.

，拋物線方程為：

(2)設，兩點坐標分別為，，則點的坐標為.

由題意可設直線的方程為.

由，得.

.

因為直線與曲線于，兩點，所以，.

所以點的坐標為.由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點.

綜上所述，直線恒過定點.

(3)可求得.所以面積.

當且僅當時，“”成立，所以面積的最小值為.