Question

【題目】過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，若且中點的縱坐標為3．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過點的直線交拋物線于不同兩點，分別過點、點分別作拋物線的切線，所得的兩條切線相交于點．求的面積的最小值及此時的直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小值，此時直線方程為．

【解析】

（Ⅰ）設，將直線方程代入拋物線的方程，結合韋達定理及過焦點的弦長公式；

（Ⅱ）設，利用導數可得的方程，聯立方程即可求出點的坐標，利用弦長公式，可得，運用點到直線的距離公式可得點到直線的距離，進而得到的面積的表達式，根據函數的性質即可求出其最小值以及直線方程．

（Ⅰ）設，

且，

，

則拋物線方程為，拋物線焦點為，

依題意，直線與拋物線交于兩點，

故其斜率存在，設，

由消得恒成立，

，

，

，

．

（Ⅱ）設，

由得，

，

直線的方程為，

即，①

同理直線的方程為，②

設過點的直線方程為，

由消得，

，

由①-②得，

而，故有，

由①+②得，

即點，

，

點到直線的距離，

，

，

當，即時，有最小值，

此時直線方程為．