Question

【題目】對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知函數f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)當a＝1，b＝－2時，求f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）－1，3（2）0<a<1

【解析】試題分析：（1）將a、b代入函數，根據條件“若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點”建立方程解之即可；

（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點轉化成對任意實數b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x恒有兩個不等實根，再利用判別式建立a、b的不等關系，最后將b看成變量，轉化成關于b的恒成立問題求解即可．

解：（1）當a=1，b=﹣2時，f（x）=x2﹣x﹣3=xx2﹣2x﹣3=0（x﹣3）（x+1）=0x=3或x=﹣1，

∴f（x）的不動點為x=3或x=﹣1．

（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點

對任意實數b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x即ax2+bx+b﹣1=0恒有兩個不等實根

對任意實數b，△=b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立

對任意實數b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立

△′=（4a）2﹣4×4a＜0

a2﹣a＜0

0＜a＜1．

即a的取值范圍是0＜a＜1．