Question

【題目】給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）設橢圓短軸的一個端點為，長軸的一個端點為，點 是“準圓”上一動點，求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）

【解析】

（1）根據焦點為，短軸上的一個端點到的距離為,得到,可得,進而可得其“準圓”方程；

（2）寫出直線方程，由題知要使得三角形面積最大，則過點的直線與直線平行且于圓相切，求出過并且與圓相切的直線，選取離直線更遠的那條直線，求出兩直線的距離，利用面積公式可得三角形面積的最大值．

解：（1）由題可知，

橢圓方程為，

準圓方程為.

（2）設橢圓短軸的一個端點為，長軸的一個端點為，

那么直線方程為，即

要使得三角形面積最大，則過點的直線與直線平行且與圓相切.

設過點的直線：，

因為直線與圓相切，所以.

所以，

當時，直線距離直線更遠，此時三角形面積最大，

即直線：

此時直線與直線的距離為

所以三角形面積最大值