Question

【題目】如圖所示，在四棱錐 中，底面 為正方形， 平面 ，且 ，點 在線段 上，且 .

（Ⅰ）證明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵底面 為正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∴ .
設 交 于點 ，如圖，在 中，

∵ ， ， ，∴由余弦定理可得 .∴ .∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 在平面 內，∴平面 平面 ；
（Ⅱ）∵ 為正方形，且 平面 ，∴ ， ， .
以 點為原點， 分別為 軸、 軸、 軸，建立空間直角坐標系 ，如圖所示.

由題意知， ，且 .
則 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
， ， .
設平面 的一個法向量為 ，
則 即
令 ，得 .
設平面 的一個法向量為 ，
則 即
令 ，得 .
∴二面角 的余弦值為 ，
于是二面角 的余弦值為
【解析】(1)根據線面垂直的性質以及線面垂直的性質定理即可得證 B D ⊥ P C，再由已知邊的關系利用余弦定理即可計算出 O E ⊥ P C，從而由線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得證結果。(2)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面BDE和平面PBD的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。