Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）設是直線上的動點，當點到平面距離最大時，求面與面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點，連接，根據菱形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；

（2）根據面面垂直的判定定理和性質定理，可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離，結合垂線段的性質可以確定點到平面的距離最大，最大值為1.

以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.

（1）證明：取中點，連接，

因為四邊形為菱形且.

所以，

因為，所以，

又，

所以平面，因為平面，

所以.

同理可證，

因為，

所以平面.

（2）解：由（1）得平面，

所以平面平面，平面平面.

所以點到直線的距離即為點到平面的距離.

過作的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為，此時必過的中點，

因為為中點，所以此時，點到平面的距離最大，最大值為1.

以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系.

則

所以

平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，

則即

取，則，

，

所以，

所以面與面所成二面角的正弦值為.