Question

【題目】用一根長為分米的鐵絲制作一個長方體框架(由12條棱組成),使得長方體框架的底面長是寬的倍．在制作時鐵絲恰好全部用完且損耗忽略不計．現設該框架的底面寬是分米,用表示該長方體框架所占的空間體積(即長方體的體積)．

（1）試求函數的解析式及其定義域；

（2）當該框架的底面寬取何值時,長方體框架所占的空間體積最大,并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)當該框架的底面寬為8分米時，長方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．

【解析】

（1）由題意,當長方體框架的底面寬是分米時,其長是分米,高是分米,

所以．

由,解得,即函數的定義域為．

（2）法1：因為,

所以 ,

當且僅當,即時,有最大值,

最大值為．

即當該框架的底面寬為8分米時，長方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．

法2：因為

所以

易得當時,；當時,．

從而在區間上單調遞增,在區間上單調遞減,

故當時,有最大值,最大值為．

即當該框架的底面寬為8分米時，長方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．