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【題目】已知正項數列的首項,其前項和為,且與的等比中項是,數列滿足：.

(1)求,并求數列的通項公式；

(2)記,,證明：.

【答案】(1),,. (2)見解析

【解析】

(1)由題可得,再根據通項與前項和的關系求得遞推公式,再根據的值求解通項即可.

(2)根據通項與前項和的關系求出的通項公式,再代入可得再利用裂項放縮法或者利用數學歸納法證明即可.

(1)依題意,

由,得,.

于是有,,兩式相減可得.

約去正項可得.

又,,所以是以1為首項,1為公差的等差數列.

故.

(2)依題意,

當時,,

兩式相減即得.

另外亦符合上式,所以.

證一：

所以.

證二：（1）時命題成立.

（2）假設時命題成立,即

那么

即當時命題也成立.

綜合（1）（2）對任意命題均成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若實數滿足，則稱為函數的不動點．

（1）求函數的不動點；

（2）設函數，其中為實數．

① 若時，存在一個實數，使得既是的不動點，又是 的不動點（是函數的導函數），求實數的取值范圍；

② 令，若存在實數，使，，， 成各項都為正數的等比數列，求證：函數存在不動點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知矩形為中點，沿直線將翻折成，直線與平面所成角最大時，線段長是( )

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）證明：不等式在恒成立；

（2）證明：在存在兩個極值點，

附：，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為．過點的直線與拋物線相交于、兩點，、分別與軸相交于、兩點，當軸時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設的面積為，面積為，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，為橢圓上的兩點，滿足，其中，分別為左右焦點.

（1）求的最小值；

（2）若，設直線的斜率為，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）設，點為的中點，求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，.

（1）若，討論的零點個數；

（2）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”.請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？

優秀

非優秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數據：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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