Question

【題目】是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，當時，有.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過橢圓右焦點的動直線與橢圓交于兩點，試問：在鈾上是否存在與不重合的定點，使得恒成立？

Answer 1

【答案】（1）1. （2）T（4，0）.

【解析】

（1）由題意可得c，結合橢圓的定義及條件可得，解出a,b即可求出橢圓的方程，

（2）假設存在符合條件的點T，設T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可將條件轉化為直線AT與BT的斜率之和為0，設直線l的方程為y＝k（x﹣2），聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理和斜率公式即可求出t＝4，當直線l的斜率不存在時，顯然滿足kAT+kBT＝0，即可得解.

（1）由題知，橢圓的半焦距為c=2，又由橢圓的定義可知，即，∴，∴

∴橢圓的方程為1.

（2）假設存在符合條件的點T滿足，則x軸為的角平分線，即直線AT與BT的斜率之和為0，

設T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

設直線l的方程為y＝k（x﹣2），

由，

可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，

∴x1+x2，x1x2，

由kAT+kBT＝0，得0，

∴0，

∴2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t＝0，

解得t＝4，

即T（4，0），

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，

與橢圓的交點坐標分別為（2，），（2，），顯然滿足kAT+kBT＝0，

∴存在點T（4，0），滿足題意.