Question

【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），等比數列{bn}的前n項和為Tn（n∈N*），已知a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11．

（Ⅰ）求數列{an}、{bn}的通項公式：

（Ⅱ）若數列{cn}滿足c1＝1，cn+1﹣cn＝an，求c100；

（Ⅲ）設數列dn＝anbn，求{dn}的前n項和Kn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n+1，bn＝3n，n∈N*；（Ⅱ）10000；（Ⅲ）Kn＝n3n+1．

【解析】

（Ⅰ）等差數列{an}的公差設為d，等比數列{bn}的公比設為q，運用等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，進而得到所求通項公式；

（Ⅱ）求得cn+1﹣cn＝an＝2n+1，由數列的恒等式cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1），結合等差數列的求和公式，計算可得所求和；

（Ⅲ）求得dn＝anbn＝（2n+1）3n，運用數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，計算可得所求和．

（Ⅰ）等差數列{an}的公差設為d，前n項和為Sn（n∈N*），

等比數列{bn}的公比設為q，前n項和為Tn（n∈N*），

由a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11，

可得3+2d+q＝10，9+3d﹣（1+q）＝11，

解得d＝2，q＝3，

則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，bn＝33n﹣1＝3n，n∈N*；

（Ⅱ）若數列{cn}滿足c1＝1，cn+1﹣cn＝an＝2n+1，

可得cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1）＝1+3+5+…+（2n﹣1）

n（1+2n﹣1）＝n2，

則c100＝1002＝10000；

（Ⅲ）dn＝anbn＝（2n+1）3n，

Kn＝33+532+733+…+（2n+1）3n，

3Kn＝332+533+734+…+（2n+1）3n+1，

兩式相減可得﹣2Kn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）3n+1

＝9+2（2n+1）3n+1，

化簡可得Kn＝n3n+1．