Question

【題目】(1)若正整數n可以表示成)的形式，則稱n為“好數”．試求與2的正整數次冪相鄰的所有好數.(2) 試求不定方程的所有非負整數解

Answer 1

【答案】（1）9；（2）(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).

【解析】

(1)設所求的好數為n，

于是，存在正整數t (t>1)，使得顯然，為奇數．

若b為奇數，則 ①

而是奇數個奇數相加減的結果仍然是奇數，只可能是l，代入

式①得b=l，這與b≥2矛盾．

若b為偶數，則

若，則

所以，t=1．矛盾

若，

但，

故

綜上，所求的所有好數只有一個n=9.

(2)顯然，≥1.當z=0時，若y≤1，易得方程的三組解(1，0，0)，(1，1，0)，(2，l，0)；

若y≥2，由(1)的結論易知此時方程只有一組解(3，2，0).

當z≥l時，顯然，．

易知當且僅當(mod 4)時，；

當且僅當(mod 4)時，

若 ②

則，此時，

設對式②兩邊模4得

于是，y是奇數．設

則式②變為，

即

由，有

結合(1)的結論可知滿足式③只有(1，0)一對，代人式④得z=1.

此時，原方程的一組解為(4，l，1)．

若， ⑤

則，此時，

設則 ⑥

當k=0時，y=0，z=1，原方程的一組解為(2，0，1).

當k≥1時，對式⑥兩邊模4得

于是，y是偶數．設

此時，再對式⑥兩邊模8得

于是，z為偶數．設

于是，式⑥變為

結合(1)的結論知 于是，，矛盾.

故(，y，z)=(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).