【題目】已知函數
.
（1）討論函數
在
上的單調性；
（2）若存在
，使得
對
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）當
時，函數
在
上單調遞增；當
時，函數在
上單調遞減，在
上單調遞增；（2）
.
【解析】
（1）先對函數
求導，然后根據
的正負以及定義域，分類討論在
上的單調性；
（2）對分類：
，
，
，考慮每種情況下
所滿足的不等式，并通過統一變量構造新函數
分析并求解出的最大值.
（1）
，
，
當
時，
，
函數在上單調遞增；
當時，由
，得
.
①當
時，
時，
函數在上單調遞增；
②當
時，
，
時，
為減函數，
時，
為增函數；
綜上可知，當
時，函數在上單調遞增；
當
時，函數在
上單調遞減，
在
上單調遞增.
（2）當時，由
，得
對
恒成立.
因為函數
在
上單調遞減，不能使對
恒成立；
當時，
；
當時，由
，
得
，
設函數
則
令
，可得，
時，
為減函數，
時，
為增函數.
.
設
，解得
當
時，
為增函數，
當
時，
為減函數.
的最大值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集為[0，4]．
(1)求m的值；
(2)若a，b均為正實數，且滿足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識，高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環保知識競賽.
（1）設事件
為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發生的概率；
（2）用
表示抽取的4人中文科女生的人數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
），其準線方程
，直線
過點
（
），且與拋物線交于
、
兩點，
為坐標原點.
（1）求拋物線方程，并注明：
的值與直線傾斜角的大小無關；
（2）若
為拋物線上的動點，記
的最小值為函數
，求的解析式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查了
人，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡（歲） |
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頻數 |
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贊成人數 |
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（
）完成被調查人員的頻率分布直方圖．
（
）若從年齡在
，
的被調查者中各隨機選取人進行追蹤調查，求恰有人不贊成的概率．
（
）在
在條件下，再記選中的
人中不贊成“車輛限行”的人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線
由同一平面的兩段拋物線組成，其中
所在的拋物線以
為頂點、開口向下，
所在的拋物線以
為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為
軸，過山頂（點）的鉛垂線為
軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式
，所在拋物線的解析式為
（1）求
值，并寫出山坡線的函數解析式；
（2）在山坡上的700米高度（點
）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點
處，
（米），假設索道
可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線
當索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；
（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？
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