Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）若， ，求函數的單調區間；

（2）若，且方程在內有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）

【解析】【試題分析】（1）先求出函數解析式導數，再借助導數與函數的單調性的關系求解；（2）依據題設先將問題進行等價轉化，再構造函數運用導數與函數的單調性的關系研究函數的圖像的形狀分析求解：

（1）若， ，則，

由，得或，

①若，即時， ，此時函數單調遞減，單調遞減區間為；

②若，即時，由，得；由得，或，

所以單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）若，∴， 則，

若方程在內有解，即在內有解，

即在有解.

設，則在內有零點，設是在內的一個零點，

因為， ，所以在和上不可能單調，

由，設，則在和上存在零點，

即在上至少有兩個零點，因為，

當時， ， 在上遞增，不合題意；

當時， ， 在上遞減，不合題意；

當時，令，得，則在上遞減，在上遞增，

在上存在最小值.

若有兩個零點，則有， .

所以， ，

設，則，令，得，

當時， ，此時函數遞增；

當時， ，此時函數遞減，

則，所以恒成立.

由， ，所以，

當時，設的兩個零點為，

則在上遞增，在上遞減，在上遞增，

則， ，則在內有零點，

綜上，實數的取值范圍是.