Question

【題目】如果一個多項式的系數都是自然數，則稱為“自然多項式”.對正整數，用表示滿足的不同自然多項式的個數.證明：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明：對任何正整數，有. ①

事實上，對任何滿足的自然多項式，因為奇數，所以，的常數項為奇數.令.則是自然多項式，且.

反之，對任何滿足的自然多項式，令.則是自然多項式，且.

所以，.

對任何滿足的自然多項式，若，令，則是自然多項式，且，這樣的多項式有個；若

，令，則是自然多項式，且，故，這樣的多項式有個.

所以，.

式①成立.

其次證明：對任何正整數，有. ②

由式①可知，不減，且對，有

.

特別地，令，有.

故.

式②的右邊獲證.

取整數，使.

則.

取自然數組（），使，這樣的數組（）有個.

對每個這樣的數組，再取，其中，，令，則，且，有.

從而，是自然多項式.因此，.

故式②的左邊獲證.

由式②有.

令，得.

對任意的正整數，設.則，.

又由不減可知，.

則.

令，，得.