Question

已知一圓錐的母線長為4，若過該圓錐頂點的所有截面面積分布范圍是(0，4

3

]，則該圓錐的側面展開圖的扇形圓心角等于

 

．

Answer 1

分析：根據當圓錐的軸截面頂角≥90°時，過頂點的截面面積的最大值為

1

2

l²；判斷圓錐的軸截面的頂角＜90°，利用

1

2

×2r×

42-r2

=4

3

，求出r，根據側面展開圖扇形圓心角θ=

r

l

•2π求θ．

解答：解：∵圓錐的軸截面頂角≥90°時，過頂點的截面面積的最大值為

1

2

×4×4=8＞4

3

∴圓錐的軸截面為銳角三角形
∴過頂點的截面三角形中面積最大為軸截面面積，
則

1

2

×2r×

42-r2

=4

3

（r為圓錐底面半徑），
解得r=2或r=2

3

．
∴側面展開圖扇形圓心角θ=

r

l

•2π=

2

4

•2π=π，或θ=

2 3

4

•2π=

3

π．
∴該圓錐的側面展開圖的扇形圓心角等于π或

3

π．
故答案是π或

3

π．

點評：本題考查了過圓錐的頂點的截面面積問題，考查了圓錐側面展開圖的圓心角公式，當圓錐的軸截面頂角≥90°時，過頂點的截面面積的最大值為

1

2

l²；
當圓錐的軸截面頂角＜90°時，過頂點的截面面積的最大值為軸截面面積．