Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）﹣x2+（2﹣a）x﹣a（a∈R）若存在唯一的正整數x0 ， 使得f（x0）＞0，則實數a的取值范圍是（　�。�
A.[ ， ]
B.（ ， ）
C.（ ， ]
D.（ln3，ln2+1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意，a＜ = ﹣（x+1）+4﹣ = ﹣x+3﹣ ，

設h（x）= ﹣x+3﹣ ，

則h′（x）= ，

設g（x）=﹣x2﹣2x﹣ln（x+1）+3，

∴g′（x）=﹣2x﹣2﹣ =﹣ ，

∵2x2+4x+3＞0恒成立，

∴g′（x）＜0恒成立，

∴g（x）單調遞減，

∵g（0）=3＞0，g（1）=﹣ln2＜0，

∴g（x）在（0，1）上存在唯一的零點，

即h（x）在（0，1）上有唯一的極值點，且為極大值點，

∵h（1）= ，h（2）= ，

∴要使不等式有唯一的正整數解，需 ≤a≤ ，

所以答案是：A．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．