Question

已知等差數列{a_n}中，首項a₁＝1，公差d為整數，且滿足a₁+3<a₃,a₂+5>a₄，數列{b_n}滿足b_n=，其前n項和為S_n．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若S₂為S₁，S_m (m∈N^＊)的等比中項,求正整數m的值．
(3)對任意正整數k,將等差數列{a_n}中落入區間(2^k,2^2k)內項的個數記為c_k,求數列{c_n}的前n項和T_n

Answer 1

（1）=1+(n1)2=2n1；（2）=12；（3）.

試題分析：（1）根據題意先確定的值，再根據等差數列的通項公式求解；（2）根據（1）所得的通項公式求出，利用裂項求和法求出其前項和，再根據等比中項的定義列式求解；（3）)對任意正整數k，，則,而，由題意可知 ，利用分組求和法可解答.
試題解析：（1）由題意，得解得< d <．           2分
又d∈Z，∴d=2．
∴=1+(n1)2=2n1．             4分
（2）∵            ..6分
∴       7分
∵，，，為， ()的等比中項，
∴，即，
解得=12．                                               .9分
(3)對任意正整數k，，則,
而，由題意可知   ,                  12分
于是
，
即.                                 14分項和公式.