Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），若四邊形的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）離心率提供與的關系，四個頂點構成的四邊形對角線互相垂直，列出等量關系求，的值；

（2）直線經過點,由直線點斜式方程設出直線的方程，并設出直線與橢圓交點、的坐標，聯立方程，由韋達定理可表示出的中點的坐標；由中點的坐標可得直線的方程，聯立直線的方程與橢圓的方程，利用韋達定理可求，再利用點到直線距離公式可求點、到直線的距離，由四邊形的面積為可列出等量關系，最后可求出直線的方程.

解：（1）由題意可得，

解得，，

故橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，，.

聯立，整理得，

則，，

從而，故，

直線的斜率為，所以直線的方程為，

即.

聯立，整理得，

則.

設點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，

從而.

∵點，在直線的兩側，

∴，

∴，則，

∵，

∴，

則四邊形的面積，

∵四邊形的面積為，

∴，解得，

故直線的方程為.