Question

【題目】正方體的棱長為，動點在對角線上，過點作垂直于的平面，記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為，設，.

（1）下列說法中，正確的編號為______.

①截面多邊形可能為六邊形；②；③函數的圖象關于對稱.

（2）當時，三棱錐的外接球的表面積為______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

（1）運用正方體的對角線的性質和對稱性，得到截面為正三角性或正六邊形，計算即可得到結論；

（2）確定外接圓的球心在OP上，運用勾股定理求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.

（1）正方體的棱長為2，可得對角線長為，

對于①中，由線面垂直的判定定理和性質，可得平面，

當截面經過中點時，此時得到的截面垂直與，且為正六邊形，所以截面多邊形可能為六邊形，所以是正確的；

對于②中，當時，可得截面為等邊，如圖所示，

設等邊的邊長為，可得，

在直角中，可得，即，

解得，所以截面的周長，所以②不正確；

③根據正方體的對稱性，可得函數的圖象關于對稱，所以是正確的；

（2）由正方體的棱長為2，可得對角線長為，

當時，可得點恰為對角線的中點，則P在底面上的射影為AC的中點，

由球的性質，可得球心在上，

設球的半徑為，可得，即，解得，

所以三棱錐為外接球的表面積為.

故答案為：①③，.