Question

【題目】定義：從數列中抽取項按其在中的次序排列形成一個新數列，則稱為的子數列；若成等差（或等比），則稱為的等差（或等比）子數列.

（1）記數列的前項和為，已知.

①求數列的通項公式；

②數列是否存在等差子數列，若存在，求出等差子數列；若不存在，請說明理由.

（2）已知數列的通項公式為，證明：存在等比子數列.

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）見證明

【解析】

（1）①先由得到，再由得到通項公式，進而可得出結果；

②假設從數列中抽3項成等差，則，根據等差子數列的概念，即可得出結論；

（2）先假設數列中存在3項，，成等比.設，則，故可設（與是互質的正整數）.根據題意，得到需要，再由題中等比子數列的概念，即可得出結論.

解：（1）①因為，所以當時，，

當時，，所以.

綜上可知：.

②假設從數列中抽3項成等差，

則，即，

化簡得：.

因為，所以，，且，都是整數，

所以為偶數，為奇數，所以不成立.

因此，數列不存在三項等差子數列.

若從數列中抽項，其前三項必成等差數列，不成立.

綜上可知，數列不存在等差子數列.

（2）假設數列中存在3項，，成等比.

設，則，故可設（與是互質的正整數）.

則需滿足，

即需滿足，則需滿足.

取，則.

此時，

.

故此時成立.

因此數列中存在3項，，成等比，

所以數列存在等比子數列.