Question

【題目】已知函數.

（1）若在上的最大值為，求實數的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

【解析】

試題分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

∵，，，

即最大值為，． 4分

（2）由，得．

，且等號不能同時取，，

恒成立，即．

令，求導得，，

當時，，從而，

在上為增函數，，． 8分

（3）由條件，，

假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側，

不妨設，則，且．

是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，

， ， 10分

是否存在等價于方程在且時是否有解．

①若時，方程為，化簡得，

此方程無解； 11分

②若時，方程為，即，

設，則，

顯然，當時，，即在上為增函數，

的值域為，即，

當時，方程總有解．

對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上． 14分