已知二次函數
和“偽二次函數”
（
、
、
），
（I）證明：只要
，無論取何值，函數
在定義域內不可能總為增函數；
（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點
，線段
中點的橫坐標為
，記直線的斜率為
，
（i）求證：
；
（ii）對于“偽二次函數”
，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.
解：（I）如果
為增函數,
則
(1)恒成立, --------1分
當
時恒成立, 
(2)
由二次函數的性質, (2)不可能恒成立.
則函數
不可能總為增函數. --------4分
（II）（i）
=
.
--------6分
由
,……..7分 則
--------7分
法一:
.
(3) --------9分
又
,
法二:
=
,
(3)
--------9分
由(ⅰ)中(1)
,
如果有(ⅰ)的性質，則
, (4)
比較(3)( 4)兩式得
，
即：
，(4) --------12分
不妨令
， (5)
設
，則
，
∴
在
上遞增， ∴
.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,
. --------13分
∴“偽二次函數”
不具有(ⅰ)的性質. --------14分
【解析】略
科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省高三6月考前訓練理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知二次函數
和“偽二次函數” 
.
（Ⅰ）證明：只要
，無論
取何值，函數
在定義域內不可能總為增函數；
（Ⅱ）在同一函數圖像上任意取不同兩點A（
），B（
），線段AB中點為C（
），記直線AB的斜率為k.
（1）對于二次函數，求證
；
（2）對于“偽二次函數” 
，是否有（1）同樣的性質？證明你的結論。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年遼寧省高三第四次模擬考試理科數學 題型：解答題
（．(本題滿分12分)
已知二次函數
和“偽二次函數”
（
、
、
），
（I）證明：只要
，無論取何值，函數
在定義域內不可能總為增函數；
（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點
，線段
中點的橫坐標為
，記直線的斜率為
，
（i）求證：
；
（ii）對于“偽二次函數”
，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
(本題滿分12分)
已知二次函數
和“偽二次函數”
（
、
、
），
（I）證明：只要
，無論取何值，函數
在定義域內不可能總為增函數；
（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點
，線段
中點的橫坐標為
，記直線的斜率為
，
（i）求證：
；
（ii）對于“偽二次函數”
，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分
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科目：高中數學 來源： 題型：
(本題滿分12分)
已知二次函數
和“偽二次函數”
（
、
、
），
（I）證明：只要
，無論取何值，函數
在定義域內不可能總為增函數；
（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點
，線段
中點的橫坐標為
，記直線的斜率為
，
（i）求證：
；
（ii）對于“偽二次函數”
，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.
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,對于“偽二次函數”: