已知拋物線的準線與x軸交于點M,過點M作圓
的兩條切線,切點為A、B,
.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線,切點分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點)三點共線,求點N的坐標.
(1)y2=4x;(2)點N坐標為或
.
解析試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、圓的標準方程及其幾何性質、圓的切線的性質等基礎知識,考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,利用拋物線的準線,得到M點的坐標,利用圓的方程得到圓心C的坐標,在中,可求出
,在
中,利用相似三角形進行角的轉換,得到
的長,而
,從而解出P的值,即得到拋物線的標準方程;第二問,設出N點的坐標,利用N、C點坐標寫出圓C的方程,利用點C的坐標寫出圓C的方程,兩方程聯立,由于P、Q是兩圓的公共點,所以聯立得到的方程即為直線PQ的方程,而O點在直線上,代入點O的坐標,即可得到s、t的值,即得到N點坐標.
試題解析:(1)由已知得,C(2,0).
設AB與x軸交于點R,由圓的對稱性可知,.
于是,
所以,即
,p=2.
故拋物線E的方程為y2=4x. 5分
(2)設N(s,t).
P,Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點.
圓D方程為,
即x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0. ①
又圓C方程為x2+y2-4x+3=0. ②
②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ 9分
P,Q兩點坐標是方程①和②的解,也是方程③的解,從而③為直線PQ的方程.
因為直線PQ經過點O,所以3-2s=0,.
故點N坐標為或
. 12分
考點:拋物線的標準方程及其幾何性質、圓的標準方程及其幾何性質、圓的切線的性質.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點
,焦點在
軸上,離心率為
,右焦點到右頂點的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓
交于
兩點,是否存在實數
,使
成立?若存在,求
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知曲線的方程為
,過原點作斜率為
的直線和曲線
相交,另一個交點記為
,過
作斜率為
的直線與曲線
相交,另一個交點記為
,過
作斜率為
的直線與曲線
相交,另一個交點記為
,如此下去,一般地,過點
作斜率為
的直線與曲線
相交,另一個交點記為
,設點
(
).
(1)指出,并求
與
的關系式(
);
(2)求(
)的通項公式,并指出點列
,
, ,
, 向哪一點無限接近?說明理由;
(3)令,數列
的前
項和為
,設
,求所有可能的乘積
的和.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設,過點
作與
軸不重合的直線
交橢圓于
、
兩點,連結
、
分別交直線
于
、
兩點.試問直線
、
的斜率之積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:(a>b>0),過點(0,1),且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C的左右頂點,直線l:x=2與x軸交于點D,點P是橢圓C上異于A,B的動點,直線AP,BP分別交直線l于E,F兩點.證明:當點P在橢圓C上運動時,
恒為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左右頂點分別為
,離心率
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為曲線
:
上任一點(
點不同于
),直線
與直線
交于點
,
為線段
的中點,試判斷直線
與曲線
的位置關系,并證明你的結論.
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如圖,點是橢圓
的一個頂點,
的長軸是圓
的直徑,
、
是過點
且互相垂直的兩條直線,其中
交圓
于
、
兩點,
交橢圓
于另一點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求面積的最大值及取得最大值時直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知點點
分別是
軸和
軸上的動點,且
,動點
滿足
,設動點
的軌跡為E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點Q(1,a),M,N為曲線E上不同的三點,且,過M,N兩點分別作曲線E的切線,記兩切線的交點為
,求
的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖所示,F1、F2分別為橢圓C:的左、右兩個焦點,A、B為兩個頂點,該橢圓的離心率為
,
的面積為
.
(1)求橢圓C的方程和焦點坐標;
(2)作與AB平行的直線交橢圓于P、Q兩點,
,求直線
的方程.
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