已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
，過點
作與
軸不重合的直線
交橢圓于
、
兩點，連結
、
分別交直線
于
、
兩點．試問直線
、
的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
（1）
；（2）詳見解析.
解析試題分析：（1）由直線和圓相切，求
，再由離心率
，得
，從而求
，進而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關鍵是確定、兩點的坐標.首先設直線
的方程，并與橢圓聯立，設
，利用三點共線確定、兩點的坐標的坐標，再計算直線、的斜率之積，這時會涉及到
，結合根與系數的關系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1）
，故
4分
（2）設，若直線
與縱軸垂直， 
則
中有一點與
重合，與題意不符，
故可設直線. 5分
將其與橢圓方程聯立，消去得：
6分
7分
由
三點共線可知，
，
， 8分
同理可得
9分
10分
而
11分
所以
故直線、的斜率為定值
. 13分
考點：1、橢圓的標準方程和簡單幾何性質；2、直線和橢圓的位置關系.
科學實驗活動冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
是拋物線
上不同的兩點，點
在拋物線
的準線
上，且焦點
到直線
的距離為
.
(I）求拋物線的方程；
（2）現給出以下三個論斷：①直線
過焦點；②直線
過原點
；③直線
平行
軸．
請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題，并加以證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的兩個焦點分別為
，且點
在橢圓C上，又
.
（1）求焦點F2的軌跡
的方程；
（2）若直線
與曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經過原點，求實數b的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
：
和
：
的焦點分別為
，
交于
兩點（
為坐標原點），且
.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點的直線交的下半部分于點
，交的左半部分于點
，點
坐標為
，求△
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點為F(－2，0)．
(1)求雙曲線方程；
(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若
= 2
，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點
，長軸的左、右端點分別為
,且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過焦點斜率為
（
）的直線
交橢圓于
兩點，弦
的垂直平分線與
軸相交于
點. 試問橢圓上是否存在點
使得四邊形
為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的準線與x軸交于點M，過點M作圓
的兩條切線，切點為A、B，
.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定點
與分別在
軸、
軸上的動點
滿足：
,動點
滿足
．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于
兩點，直線
與直線
分別交于點
（
為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以
為直徑的圓的位置關系；
（ii）探究
是否為定值？并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
經過點
，其左、右頂點分別是
、
，左、右焦點分別是
、
，
（異于、）是橢圓上的動點，連接
交直線
于
、
兩點,若
成等比數列.
（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段
為直徑的圓過點.
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