Question

已知函數．
（Ⅰ）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；
（Ⅲ）試證明：.

Answer 1

（Ⅰ）在區間上是減函數;
（Ⅱ）當時，恒成立，
即在上恒成立，
構造，；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

解析試題分析：（Ⅰ）由題
故在區間上是減函數;               3分
（Ⅱ）當時，恒成立，
即在上恒成立，
取，則h′(x)，       5分
再取則 
故在上單調遞增，
而，
故在上存在唯一實數根，
故時，時， 
故
故                    7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又


即：          12分
考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、極值及不等式證明。
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及恒成立問題、不等式證明問題，通過構造函數，轉化成了研究函數的單調性及最值。