Question

【題目】已知函數（且）.

（1）若的定義域為，判斷的單調性，并加以說明；

（2）當時，是否存在，，使得在區間上的值域為，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，為減函數，當時，為增函數.證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）求出函數定義域，利用定義法證明函數單調性，再分類討論得函數單調性；

（2）根據定義域和值域，結合（1）所得單調性，將問題轉化為方程有兩個大于3的不同的實數根，利用根的分布求解.

（1）或.由于的定義域為，則.

設，有，

故當時，為減函數，當時，為增函數.

（2）若在上的值域為，

由（1）知當時，為減函數.

則，

即，又，

即，為方程的大于3的兩個不同的實數根.

從而得.

故當時，存在滿足題意條件的，.