Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）最大值；
（2）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=lnx﹣x2+x，其定義域是（0，+∞），

∴

令f'（x）=0，即 ，解得 或x=1．

∵x＞0，∴ 舍去．

當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．

∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減

∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1﹣12+1=0

（2）解：法一：因為f（x）=lnx﹣a2x2+ax其定義域為（0，+∞），

所以

①當a=0時， ，

∴f（x）在區間（0，+∞）上為增函數，不合題意

②當a＞0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即 ．

此時f（x）的單調遞減區間為 ．

依題意，得 解之得a≥1．

③當a＜0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即

此時f（x）的單調遞減區間為 ，

∴ 得

綜上，實數a的取值范圍是 法二：∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，x∈（0，+∞）

∴

由f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，可得﹣2a2x2+ax+1≤0在區間（1，+∞）上恒成立．①當a=0時，1≤0不合題意②當a≠0時，可得 即

∴

∴

【解析】（1）把a=1代入函數，利用導數判斷出函數的單調性，進而可求出函數f（x）最大值；（2）對參數a進行討論，然后利用導數f′（x）≤0（注意函數的定義域）來解答，方法一是先解得單調減區間A，再與已知條件中的減區間（1，+∞）比較，即只需要（1，+∞）A即可解答參數的取值范圍；方法二是要使函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，我們可以轉化為f′（x）≤0在區間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數的單調區間于對稱軸的關系來解答也可達到目標．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．