Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數列．

(1)求數列{an}、{bn}的通項公式；

(2)求數列{an·bn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】(1)an＝3n－1(n∈N*),bn＝2n＋1(n∈N*)．

(2)Tn＝n·3n.

【解析】試題分析：（1）先根據和項與通項關系得項的遞推關系式：an＋1＝3an，再根據等比數列定義以及通項公式求數列{an}的通項公式；利用待定系數法求等差數列{bn}中首項與公差，再根據等差數列通項公式得{bn}的通項公式；（2）利用錯位相減法求數列{an·bn}的前n項和Tn. 利用錯位相減法求和時，注意相減時項的符號變化，中間部分利用等比數列求和時注意項數，最后要除以

試題解析：解　(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，

∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，

∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，

即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．

而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.

∴數列{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，

∴an＝3n－1(n∈N*)．

∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，

在等差數列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.

又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數列，設等差數列{bn}的公差為d，則有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.

∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，

∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，

∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．

(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①

∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②

∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n

＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.