Question

（本小題滿分14分）過點作曲線的切線，切點為，過作軸的垂線交 軸于點，又過作曲線C的，切點為，過作軸的垂線交軸于點，…，依次下去得到一系列點，…，設點的橫坐標為．（1）求數列的通項公式；
（2）求和；（3）求證：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．
若切點是，
則切線方程為．     …………………1分
當時，切線過點，
即：，
依題意．所以．      …………………2分
當時，切線過點，
即：，
依題意，所以． ………………3分
所以數列是首項為，
公比為的等比數列．所以． …………4分
（2）記，
因為，
所以．   …………………5分
兩式相減，
得： 

　　    
．  …………………7分
∴

．         …………………9分
（3）證法1：

 ．      
…………………14分
證法2：當時，
．…………………10分
假設時，結論成立，
即，
則．
即時．
．                       …………………13分
綜上，　
對都成立．             …………………14分

略