Question

【題目】已知直線過定點，圓.在圓上任取一點P，連接，在上取點M，使得是以為底的等腰三角形.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）過點的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）確定直線過定點，再根據圓的幾何意義和橢圓的定義，即可得點M的軌跡為橢圓，寫出其標準方程即可；（2）設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，根據根與系數的關系，求出面積的表達式，通過換元，利用基本不等式求出最值即可.

解：（1）直線，變形為，

∴直線l過定點，圓，

變形為，可知圓心，半徑.

∵是以為底的等腰三角形，∴，

則，

可知點M的軌跡為以點為焦點，4為長軸長的橢圓，

∴，

∴點M的軌跡方程為.

（2）設直線，點，

聯立，得，

顯然，

∴，

∴

，

∵，

設，

∴，

∴，

當且僅當時等號成立，故面積的最大值為.