Question

已知：函數.（其中e為自然對數的底數，e=2.71828…〉.
(1) 當時，求函數的圖象在點處的切線方程；
(2) 當時，試求函數的極值；
(3)若，則當時，函數的圖象是否總在不等式所表示的平面區域內，請寫出判斷過程.

Answer 1

解析：
（1）
所以，當時函數的圖象在點處的切線的斜率為1
故所求切線方程為……………………..2分
（2）當時恒成立，函數定義域為R
又單調遞增，單調遞減，單調遞增
所以函數的極大值為，極大值為…………………..5分
（3）①當時
法一：因為函數在單調遞增，所以其最小值為，而函數在的最大值為1，所以函數圖象總在不等式所表示的平面區域內……………..6分
法二：因為
而當時，
又，，即當時成立
所以函數圖象總在不等式所表示的平面區域內……………..6分
②當時，
法一：仿上可得函數在上時，上述結論仍然成立……………..7分
法二：因為，由（2）知
而當時
又，，即當時成立……………..7分
而當時，因為函數遞減，其最小值為
所以，下面判斷的關系，即判斷的關系，
令
單調遞增

使得
上單調遞減，在單調遞增……………………………..10分
所以

即也即
所以函數圖象總在不等式所表示的平面區域內……………..12分

略