Question

【題目】已知右焦點為的橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為.證明：直線與軸的交點為.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2即可得出橢圓M的方程；（2）設直線PQ的方程為：y=k（x-4）（k≠0），代入橢圓方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x2，-y2），直線PE的方程為： ，令y=0，可得 ，把根與系數的關系代入即可證明．

試題解析：

（1）由題意得橢圓的焦點在軸上，∵橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，∵，∴，解得.∴橢圓的方程為.

（2）證明：易知直線的斜率必存在，設直線的方程為，代入得，由得， .設， ， ，則， ，則直線的方程為.令得 ，∴直線過定點，又的右焦點為，∴直線與軸的交點為.