Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）
（1）若函數f（x）在點（1，f（1））處切線方程為y=3x+b，求a，b的值；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在[1，2]上的最小值；
（3）設g（x）=x2﹣2x+2，若對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣ax得 ，

f'（1）=31﹣a=3a=﹣2，

則f（x）=lnx+2x，f（1）=2點（1，2）為切點，

則2=3+b

b=﹣1，

（2）解：由f（x）=lnx﹣ax ，

∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

①當 ≤1，即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，

∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a；

②當 ≥2，即 時，函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，

∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a；

③當1＜ ＜2，即 ＜a＜1時，函數f（x）在[1， ]上是增函數，在[ ，2]是減函數．

又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，

∴當 ＜a＜ln2時，最小值是f（1）=﹣a，

當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2﹣2a；

綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）min=﹣a；

當a≥ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a，

（3）解：由條件得f（x1）max＜g（x2）max，

又∵g（x2）max=2，

∴f（x1）max＜2．

若a≤0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

x→+∞，f（x）→+∞，不符題意；

∴a＞0由Ⅱ可知 ，

得：

【解析】（1）求出函數的導數，根據f'（1）=3，求出a的值，根據f（1）=2求出b的值即可；（2）求出函數的導數，得到函數的單調區間，通過討論a的范圍，求出函數的最小值即可；（3）問題轉化為f（x1）max＜g（x2）max ， 結合函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．