【題目】已知函數.
(1)求函數的定義域,判斷并證明
的奇偶性;
(2)判斷函數的單調性;
(3)解不等式.
【答案】(1)是定義在
上的奇函數;(2)
在其定義域上是增函數;(3)
.
【解析】試題分析:(1)化簡函數的即解析式為,求得函數
的定義域為
,再根據
,可得函數
是定義在
上的奇函數;(2)設
利用作差證明
即可;(3)先判斷函數的奇偶性,根據函數的奇偶性、單調性、得到關于
的不等式,解不等式即可得結果.
試題解析:(1) ∵,∴
,∴
的定義域為
.
∵的定義域為
,
又
,
∴,
∴是定義在
上的奇函數.
(2) 任取,且
,則
,
∵,∴
,
∴,又
,
,
∴,∴
,
∴函數在其定義域上是增函數.
(3) 由得
.
∵函數為奇函數,
∴,∴
.
由(2)題已知函數在
上是增函數.
∴
,∴
.
∴不等式的解集為
.
【方法點晴】本題主要考查函數的定義域、函數的單調性的應用,屬于難題.根據函數的單調性解不等式應注意以下三點:(1)一定注意函數的定義域(這一點是同學們容易疏忽的地方,不等掉以輕心);(2)注意應用函數的奇偶性(往往需要先證明是奇函數還是偶函數);(3)化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓,定點
為圓上一動點,線段
的垂直平分線交線段
于點
,設點
的軌跡為曲線
;
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若經過的直線
交曲線于不同的兩點
,(點
在點
,
之間),且滿足
,求直線
的方程.
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【題目】已知函數f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數f(x)在點(1,f(1))處切線方程為y=3x+b,求a,b的值;
(2)當a>0時,求函數f(x)在[1,2]上的最小值;
(3)設g(x)=x2﹣2x+2,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
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【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課,為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關,現從高一學生中抽取人做調查,得到如下
列聯表:
已知在這人中隨機抽取一人抽到喜歡游泳的學生的概率為
,
(Ⅰ)請將上述列聯表補充完整,并判斷是否有%的把握認為喜歡游泳與性別有關?并說明你的理由;
(Ⅱ)針對問卷調查的名學生,學校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機抽取
人成立游泳科普知識宣傳組,并在這
人中任選兩人作為宣傳組的組長,求這兩人中至少有一名女生的概率,參考公式:
,其中
.參考數據:
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【題目】已知等差數列{an},滿足d>0,且a1+a2+a3=9,a1a3=5
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足bn= ,Sn為數列{bn}的前n項和,證明:Sn<3.
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【題目】已知在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓錐曲線C的極坐標方程為ρ2= ,F1是圓錐曲線C的左焦點.直線l:
(t為參數).
(1)求圓錐曲線C的直角坐標方程和直線l的直角坐標方程;
(2)若直線l與圓錐曲線C交于M,N兩點,求|F1M|+|F1N|.
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【題目】圓心在直線2x-3y-1=0上的圓與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點,則圓的方程為( )
A.(x-2)2+(y+1)2=2
B.(x+2)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-2)2=2
D.(x-2)2+(y-1)2=2
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【題目】已知函數.
(1)若,求曲線
在點
處的切線;
(2)若函數在其定義域內為增函數,求正實數
的取值范圍;
(3)設函數,若在
上至少存在一點
,使得
成立,求實數
的取值范圍.
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【題目】已知拋物線y2=4x和點M(6,0),O為坐標原點,直線l過點M,且與拋物線交于A,B兩點.
(1)求 ;
(2)若△OAB的面積等于12 ,求直線l的方程.
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