Question

【題目】已知100條線段的長度集合，試求從這些線段中任取三條線段能夠構成三角形的概率。

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，，于是，所求問題轉化為：從1，2，…，100這100個數中任取三個不同的數，求其中兩個較小的數的和大于最大數的概率.事實上，從1，2，…，100中任取三個不同的數，其不同的取法有種.下面求其中兩個較小的數的和大于最大數的取法數.

先考慮一般情形：

設表示從1，2，…，這個數中任取三個數且其中兩個較小的數的和大于最大數的取法數.易得，，……

在從1，2，…，這個數中，任取三個數且其中兩個較小的數的和大于最大數的取法數為兩部分的和，即第一部分：最大數不大于，易知，這部分不同的取法有種；第二部分：最大數為，再從1，2，…，這個數中取兩個數，且這兩個數的和大于.

考慮從1，2，…，這個數中取兩個數中較大的數的情形，具體如表1：

表1

較大的數	最小數的可能值	個數
	2，3，…，
	3，4，…，
	4，…，
…	…	…

由此可知，當是偶數時，第二部分的取法數為

.當是奇數時，第二部分的取法數為 .

當為偶數時，得 .

則 .

故

.

因此，從這些線段中任取三條線段能夠構成三角形的概率為.