Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程有兩個不等的實數根，求的取值范圍；

（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意，代入，解對數不等式，即可求解.

（2）由題意，根據兩對數式相等，得到真數值相等，考慮真數大于0，考慮方程有兩個不等的實數根，可求解參數范圍.

（3）根據題意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1，則對恒成立，轉化成

，對任意恒成立，根據恒成立思想，即可求解.

（1）當時，，由得，

得，即，解得或，

當時，不等式的解集為或

（2）由題意得，該問題等價于

，化簡得，

即

①當時，，不合題意，舍去.

②當時，，不合題意，舍去.

③當且時，且.

由，得（且）；

由，得（且）.

依題意，若原方程由兩個不等的實數根，則（且）.

故所求的取值范圍為.

（3）易得，當時，在上單調遞減.

故函數在區間上的最大值與最小值分別為.

則對恒成立，

即，對任意恒成立.

因為，函數的對稱軸，

函數在區間上單調遞增，

故時，有最小值，，得

故所求的取值范圍為.