Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x﹣y﹣2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0），若拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q．

（1）求證：線段PQ的中點坐標為（2﹣p，﹣p）；
（2）求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q，

∴直線l是線段PQ的垂直平分線∴PQ的斜率為﹣1，

設PQ的方程為：y=﹣x+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），

線段PQ的中點為M（xM，yM），由 ，

∴x2﹣2（p+b）x+b2=0（*），

∴ ，

∴x1+x2=2（p+b），

∴xM=（p+b），∴M（p+b，﹣p），

又∵M在直線l上，∴p+b﹣（﹣p）﹣2=0，

∴b=2﹣2p，

∴線段PQ的中點坐標為（2﹣p，﹣p）

（2）解：在（1）中（*）式：x2﹣2（p+b）x+b2=0及b=2﹣2p，

∴x2﹣2（2﹣p）x+（2﹣2p）2=0

∵相交于P、Q兩點

∴△=（4﹣2p）2﹣4（2﹣2p）2＞0

∴3p2﹣4p＜0，∴ ．

【解析】（1）根據題意得到：直線l是線段PQ的垂直平分線，從而設出直線PQ的方程，將問題轉化為：直線PQ與拋物線C交于點P，Q，求線段PQ的中點M的坐標；（2）將相交于P，Q兩點變為醫院二次方程有兩個實數根來求得p的取值范圍.