Question

【題目】設函數.

（1）當時，證明：在區間上是增函數；

（2）當，函數的零點個數，并說明理由；

（3）求函數的對稱中心，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）.

【解析】

（1）化簡函數的解析式，根據單調性的定義可證明出函數在區間上是增函數；

（2）判斷函數在各區間的單調性，從而得出結論；

（3）將函數進行平移變換構造一個奇函數即可得出對稱中心.

（1）當時，，

任取、且，即，

，

，，，，，.

，，則，即，

因此，函數在區間上為增函數；

（2）當時，，

顯然當時，函數為增函數，其中、、、、，

當時，，當時，，

所以，函數在區間上有且只有一個零點；

又當時，，

當時，，

所以，函數在和上沒有零點，

因此，函數共有個零點；

（3），

構造函數，

可知，函數的定義域為，關于原點對稱，

，

所以，函數為奇函數，其對稱中心為坐標原點，

且有，

為了得到函數的圖象，可將函數的圖象向上平移個單位長度，向左平移個單位長度即可.

因此，函數圖象的對稱中心坐標為.