Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出四個命題，正確的是________.

①對任意三點、、，都有；

② 到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；

③ 已知點和直線，則；

④ 定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數）有且僅有個公共點.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①討論、、三點共線，以及不共線的情況，結合圖象和新定義，即可判斷；

②運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；

③設點是直線上一點，且點，可得，討論和的大小，可得距離，再由函數的性質，可得最小值；

④討論點在坐標軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

①對任意三點、、，若它們共線，設、、，

如下圖，結合三角形相似可得或，或，或，則；

若、或、對調，可得；

若、、不共線，且中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，

；

則對任意的三點、、，都有，命題①正確；

②到原點的“切比雪夫距離”等于的點，即為，若，則；

若，則，故所求軌跡是正方形，命題②正確；

③設點是直線上一點，且，可得，

由，解得，即有.

當時，取得最小值；

由，解得或，即有，

的取值范圍是，無最值，

所以，、兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，命題③正確；

④定點、，動點，滿足，

可得不在上，在線段間成立，可得，解得.

由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；

若在第一象限內，滿足，即為，為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點的軌跡與直線（為常數）有且僅有個公共點，命題④正確.

故答案為：①②③④.