Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點．

（1）證明：平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且，求點C到平面POM的距離．

（3）若點M在棱BC上，且二面角為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）由條件, O為AC的中點可得，同理，求出的三邊長，利用勾股定理可得，從而可證.

（2）由（1）可知，平面平面ABC，作，垂足為H，所以平面POM．所以的長度為點C到平面POM的距離，然后通過解三角形解出即可.

（3）以O為坐標原點，,,的分別為x，軸，建立空間直角坐標系，平面PAC的一個法向量，設，求出平面PAM的法向量為，由，可求出的值，從而可求出PC與平面PAM所成角的正弦值.

證明：因為，O為AC的中點，所以，且．

連接OB．因為，

所以為等腰直角三角形，且，．

在中，，

由知，．

由，且，知平面ABC．

（2）解：作，垂足為H．

又由（1）可得，所以平面POM．

故CH的長為點C到平面POM的距離．

由題設可知，，．

在中，,

所以，則,

即

又,

所以．

所以點C到平面POM的距離為．

（3）解：如圖，以O為坐標原點，,,的分別為x，軸，建立空間直角坐標系，

由已知得，，，，，．

取平面PAC的一個法向量．

在平面內直線的平面直角坐標方程為：，

設（），則．,

設平面PAM的法向量為．

由 ，得

可取，

所以．

由已知可得，

所以，解得（舍去），，

所以．

又，所以．

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為．