Question

【題目】設Tn為數列{an}的前n項的積，即Tn=a1a2…an．

（1）若Tn=n2，求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{an}滿足Tn=（1﹣an）（n∈N*），證明數列為等差數列，并求{an}的通項公式；

（3）數列{an}共有100項，且滿足以下條件：

①；

②（1≤k≤99，k∈N*）．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）試問符合條件的數列共有多少個？為什么？

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）（Ⅰ）見解析（Ⅱ）299

【解析】

（1）（1）利用作商法求an；

（2）利用等差數列的定義證明數列為等差數列，并求得{an}的通項公式；

（3）（Ⅰ）由題意聯立方程組求得T4，T5，則由a5=即得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Tk是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一個實根（△＞0），當數列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積Tk確定，由Tk+1可得到兩個ak+1，即得符合條件的數列共有299個．

（1）當n=1時，a1=T1=1；

當n≥2時，an=，

∴

（2）當n=1時，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，

當n≥2時，2Tn=1﹣an=1﹣，

所以﹣=2，數列{}為等差數列

=3+2（n﹣1）=2n+1，Tn=，an=1﹣2Tn=

（3）（Ⅰ）由，；可得T4=3±，

由，；可得T5=，

所以或或或

（Ⅱ），，所以a1=1或2

Tk是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一個實根（其中△＞0），

當數列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積Tk確定，由Tk+1可得到兩個ak+1

所以符合條件的數列共有299個