Question

【題目】如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由側棱垂直于底面，且，得可側面與底面垂直，從而與側面垂直，因此有，即有，于是只要證即可有線面垂直，從而證，這個在矩形由相似三角形可得證；

（2）以分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值（注意確定二面角是銳角還是鈍角）．

（1）證明：∵平面

∴四邊形是矩形

∵為中點，且

∴

∵，，

∴，∴

連接 ，

∵，∴與相似

∴，∴

∴

∵，∴平面

∴平面

∵平面，∴

∴平面，∴．

（2）解∶如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則

，，，，

∴，，，

設平面的法向量為，則，

解得：

同理，平面的法向量

設二面角的大小為，則

即二面角的余弦值為.