Question

【題目】設為等差數列的公差，數列的前項和，滿足（），且，若實數（，），則稱具有性質.

（1）請判斷、是否具有性質，并說明理由；

（2）設為數列的前項和，若是單調遞增數列，求證：對任意的（，），實數都不具有性質；

（3）設是數列的前項和，若對任意的，都具有性質，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有性質，具有性質，理由見解析；（2）證明見解析；（3）和.

【解析】

（1）求得時,數列的前7項,可得和首項,得到等差數列的通項,即可判斷、是否具有性質；

（2）由題意可得 ,代入等差數列的通項公式和求和公式,化簡整理可得入 ,結合集合中元素的特點,即可得證；

（3）求得的特點,結合 集合的特點,即可得到所求取值.

解：（1）由得,

又,得,

可得,

從而,

故不具有性質,具有性質.

（2）,

因為數列單調遞增,所以,即,

又數列單調遞增,則數列的最小項為,

則對任意,都有,

故實數都不具有性質.

（3）因為,所以,

兩式相減得 ,

即,

當為偶數時,,即,此時為奇數；

當為奇數時,,即,則,

此時為偶數；

則,.

則,

故

,

因為對于一切遞增,所以,

所以 .

若對任意的,都具有性質,則,

即,解得,又,則或,

即所有滿足條件的正整數的值為和.